公式test

高数到数分

If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.

chapter1.实数与数列极限

1.1实数

一些名词

数域和数:

对于一个集合中的元素通过定义的加减乘后都得到的元素仍然在集合内，称其为环；如果对于定义的加减乘除运算也符合则成为域（再其他中有详细论述）

有理数:

任何一个有理数可以表示为两个整数的之商

\[ \notag r=\dfrac{p}{q}%%顺便练习LaTeX \]

实数:

由于数轴从原点到某点的距离的度量对应一个数(用数字代表距离），则每一个点都对应一个实数，同时，对于每一个实数必然有

\[ \notag \frac{p}{q}\leq{}x<\frac{p+1}{q}\iff0\leq{}x-\frac{p}{q}<\frac{1}{q} \]

则可以证明每一个实数都对应数轴上一个点（x为实数，那么他到一个实数的距离无穷小，一般理解为逼近\(\approx\)相同）

两种性质的区别

  1. 稠密性：\({E}\subset{R},\forall{a,b},\exists{c\in{E}},a<c<b\)，即任何两个数中有第三个数集中的数则称稠密
  2. 连续性：左右极限相等

1.2数列

有顺序的一列数，\(\{a_n\}\)下标n称为哑元

极限（\(\epsilon-N\)方法）

\[ \notag \forall\epsilon>0,\exists{}N\in{N^*},w当n>N,|{a_n-a}|<\epsilon,则称\lim_{n\rightarrow\infty{}}{a_n}=a \]

意为当n很大的时候，无论\(\epsilon{}\)多小，\(a_n和a\)距离总小于\(\epsilon\)的距离，一般利用定义可以证明某数是极限，那么一般思路就是找到N和\(\epsilon{}\)的关系，比如二者有函数关系，那么任何一个N都对应一个\(\epsilon\)就可以得证，这就是数列极限的定义，也是第一次引入极限概念

注意：

  1. 定义中的任意要注重任意小而不是任意大方向
  2. 给定\(\epsilon\)后要重视N的存在性

1.3收敛数列的性质

define

  1. 邻域：\(a_n\in{}(a-\epsilon,a+\epsilon)\)
  2. 上界和下界：\(a_n\leq(\geq)A,则称A为上（下）界，a_n有上界（下界）\)（关于上下界要注意上下界不唯一）
  3. 上确界下确界：（简单说来就是加上一个或减去一个任意数都会使其超出区间）
  4. 子列：原数列按顺序取出一些数字，称为子列

数列极限定理

  1. 数列的收敛是唯一的（反证法可证）
  2. 收敛数列有界
    1. 收敛数列的子列也收敛于极限（常用于证明不收敛）
    2. 推论：数列收敛\(\Leftrightarrow{}\)奇偶子列收敛相同

极限的四则运算

条件：\(a_n,b_n为收敛数列，如果涉及分数还需要b_n的极限不为0\)

\[ \begin{align} &\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n\pm{}b_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}\pm{}\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n} \tag{1} \\ &\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n\cdot{}b_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}\cdot{}\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}\tag{2} \\ &\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}}=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}}\tag{3} \end{align} \]

无穷小

收敛数列的极限为0，称这个收敛的数列为无穷小数列，简称无穷小

  • 性质

    1. \(a_n\)是无穷小的充要是\(\{|{a_n}|\}\)收敛于0
    2. 无穷小的和差还是无穷小
    3. 无穷小之积也是无穷小
    4. \(0\leq{}a_n\leq{}b_n,如果b_n为无穷小，a_n也为无穷小\)（其实已经相当于夹逼原理）
    5. \(\lim_{n\rightarrow{}\infty}{a_n}=a\Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow{}\infty}(a_n-a)=0\)

夹逼原理

\[ \notag a_n\leq{b_n}\leq{c_n}\\ if \lim_{n\rightarrow{}\infty}{a_n}=\lim_{n\rightarrow{}\infty}{b_n}=c \implies\lim_{n\rightarrow{}\infty}{c_n}=c \]

其他性质（广义保号性）

*从某一项开始数列大小与极限具有相同性质，当和0比较的时候就是保号性

\[ \notag \begin{align} &若\alpha<a<\beta,\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=a,当n充分大的时候有a_n>\alpha,a_n<\beta\tag{1}\\ &\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=a，\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=b,且a<b，那么一定有a_n<b_n\tag{2}\\ &\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=a，\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=b,n充分大的时候a_n<b_n，那么一定有a<b\tag{3}\\ \end{align} \]

1.4数列极限的推广

所谓推广通常是指无穷大，这里的推广就是称趋向于正负无穷大，它们仍然是发散的，但称趋向于无穷（发散也分为趋向于无穷，和没有极限，比如说震荡）

性质：

  1. 无界数列存在子列无穷大
  2. 无穷大子列都为无穷大
  3. 无穷大必然无界，但无界不一定无穷大
  4. 可加可乘（符号相同）

1.5单调数列

严格不等号称为严格单调，有等号只称为单调

单调有界

单调有界数列必收敛

闭区间套定理

\[ \notag 设I_n=[a_n,b_n],I_1\supset{}I_2{}\supset\dots{}I_n\supset\dots,若|{I_n}|=b_n-a_n\rightarrow0(n\leftarrow\infty),那么交集\bigcap_{n=1}^{n\rightarrow\infty}{I_n}含有唯一的一点 \]

注意一定是闭区间，利用单调和广义保号性可证，由于长度趋于0，a=b，所以只包含一点

1.6自然对数的底数e

\(e_n=(1+\frac{1}{n})^n,\lim_{n\rightarrow\infty}{e_n}=e\)

单调有界

1.7基本列和Cauchy收敛原理

\[ \forall\epsilon>0,\exists{}N,使得n>N时,|{a_{m}-a_n}|<\epsilon\notag \]

则称其为基本列或者Cauchy列，这说明可以利用数列本身来判别收敛

定理：

  1. 基本列等价于收敛数列
  2. 任何有界数列可以找出一个收敛的子列

1.8上确界和下确界

定义

\[ \notag \begin{align} &\forall{}x\in{}E,X<(>)\beta\\ &\forall\epsilon>0,\exists{x_n},x_n\pm\epsilon>(<)\beta & 记\beta=supE(infE) \end{align} \]

简单说就是加上或者减去一个无穷小，数集就会超过这个上界或者下界，那么他就变成上确界或者下确界（最小上界，最大下界）

定理

  1. 非空有上界必有上确界，非空有下界必有下确界

1.9有限覆盖定理

有限闭区间的开覆盖中可以找到有限个成员再次形成开覆盖

开覆盖就是一系列集合的并包含某个集合

1.10上极限和下极限

数列的收敛子列的极限称为极限点，所有极限点的集合的上确界和下确界称为上极限和下极限，\(a_*和a^*\)

符号记为

\[ \notag a^*=\limsup_{n\rightarrow\infty}{a_n}\\ a_*=\liminf_{n\rightarrow\infty}{a_n} \]

这节看看书吧，通过极限点引入上下极限，可以分析非收敛数列的性质

上下极限1
上下极限2
上下极限3
上下极限4

1.11Stolz定理

\[ \notag b_n为严格递增且趋于正无穷的数列，如果\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}}=A\implies{} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=A \]

A可以为有限数或者无穷

chapter2函数的连续性

2.1集合的映射

首先映射是一种关系，表示一个集合到另一个集合的关系，这种关系具体体现为一种"算子"，是集合中一个或者多个元素经过这个映射，与另一个集合中一个与多个元素的对应。

所以很明显，映射的性质有：是几对几的映射，作用到整个集合，那么两个集合之间的关系又怎样，是正好填满还是没有填满。我们用箭头来表示。映射是一种高度的抽象，表述两个事物之间的关系，但是只在乎头尾。

$$ \[\begin{align*} &f:A\rightarrow{}B\\ &A:定义域\\ &f(x)\in{B}，则称f(x)为值或者像 \end{align*}\] $$

  • 单射：f(x)只对应B中的一个元素
  • 满射：f(A)=B
  • 满足上两点称为一一对应（双射，因为可逆）

在双射的情况下可以定义逆映射，而逆映射的集合称为原像

映射的复合就是函数的嵌套，使得映射具有链式的性质（写法从嵌套变成链式）

记为

\[ \notag f\circ{g}(x)=f(g(x)) \]

注：具有结合律，所以一般不写括号

==要注意映射，对于B并不要求等于f(A)==

2.2集合的势

\[ \notag A和B存在一一映射\Leftrightarrow{}具有相同的势\Leftrightarrow{}具有相同的基数\Leftrightarrow等价\approx{}集合元素的个数 \]

是集合元素个数的推广，利用这个就可以表述什么是可数，什么是不可数。

\[ \notag \begin{align*} &设N_n=\{1,2,3,\dots\}\\ &(1)\exists{}n\in{}N^*,A\sim{}N_n,A就是有限集，空集也是有限集\\ &(2)不是有限集就是无限集\\ &(3)A\sim{}N^*(正整数全体的集合),则称可数集\\ &(4)不是有限不是可数，就叫不可数集\\ &(4)是有限或者可数，就叫至多可数\\ \end{align*} \]

这里的可数是字面意义上的，这个存在也是依附于这个字面意义，要能用确切方法表示这个数字，就是不考虑的大小，不考虑结果，只考虑过程

要注意使用一一映射

一些定理

  1. 可数集A的每一个无限子集是可数集
  2. 至多可数集的并集为至多可数集
  3. R中的全体有理数是可数的

2.3函数

介绍了一些定义、概念不赘述了

2.4函数的极限

\[ \notag 函数f在x_0的近旁有定义，\forall \epsilon>0,\exists\delta>0,使得0<|{f(x)-l}|<\epsilon，则记\lim_{x\rightarrow{x_0}}{f(x)}=l \]

一些定理

  • （Heine定理)\(\lim_{x\rightarrow{x_0}}{f(x)}=l\Leftrightarrow{}\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=l,其中\{x_n\}不等于x_0但极限为x_0\)
  • \(\lim_{x\rightarrow{x_0}}{f(x)}\)极限若存在则唯一
  • 若f在\(x_0\)处有极限，则近旁有界
  • 极限的四则运算（和数列一样）
  • 夹逼原理略
  • 广义保号性略（领域内，函数具有极限的性质）
  • Cauchy收敛原理
  • 单边极限
  • 极限存在的充要是左右极限相等

2.5极限过程的其他形式

推广到无穷，定义略，五处的极限当且仅当正负无穷极限存在且相等

2.6无穷大无穷小

这一节主要介绍无穷大和无穷小的阶数问题，不赘述

2.7连续函数

一些定义：\(\lim_{x\rightarrow{}x_0}f(x)=f(x_0)\)

连续函数的定义：开区间区间内连续（闭区间加上左端点左连续，右端点右连续）

一些定理：

  • f,g连续，他们的四则运算、复合函数、
  • 连续函数和反函数的严格单调性相同
  • 初等函数定义域内连续

间断点分类

若f在(a,b)内递增（减），则间断点一定为跳跃点，且点集至多可数

2.8连续函数与极限计算

这节主要是计算极限，重要的一个是取对数的操作，略

2.9函数的一致连续性

一致连续性表明在自变量接近时，函数也接近

\[ \notag \forall \epsilon>0,\exists\delta>0,x_1,x_2\in{I}且|{x_1,x_2}|<\delta{},有|{f(x_1)-f(x_2)}|<\epsilon，则称在区间I上一致收敛 \]

2.10有限闭区间上连续函数的性质

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